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苏教版数学六年级上册课本P851

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数轴上的动点问题,是七年级非常重要的问题,也是困难题,学生遇上了它就一个字——“晕”.但这个知识点又不得不学,因为这个知识比较综合,也比较抽象,是一类极为常见且重要的综合题,对学生的综合运用知识能力要求较高,涉及到“绝对值的几何意义、数在数轴上的表示、行程问题”等,更是学习“数形结合”思想的第一步.动点问题

必备知识:

1.数轴上两点之间的距离如何表示?

可用绝对值来表示,即两点所表示的数差的绝对值.如,数轴上点A,B所表示的数是a,b,则AB=|a-b|或|b-a|.

2.数轴上一个动点如何字母来表示?

用有理数的加法或减法即可解决,就是起点所表示的数加上或减去动点运动的距离,向正方向用加,负方向用减.如,数轴上点A对应的数为-1,点P从A出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动,设运动的时间是t,则点P所表示的数是-1+2t.

3.怎样求数轴上任意两点间的线段的中点?

两点所表示的数相加的和除以2,如数轴上的点所表示的数是a,b,则线段AB的中点所表示的数是(a+b)/2.

策略方法:

解决动点问题首先要做到仔细理解题意,弄清运动的整个过程和图形的变化,然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形,最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解。

而对于建立在数轴上的动点问题来说,由于数轴本身的特点,这类问题常有两种不同的解题思路。一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系,也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解;另一种是从“数”的方面寻找等量关系,就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程。

类型1 数轴上的规律探究问题

招数:用由特殊到一般的思想

例1.(2018春鄞州区期末)如图,A点的初始位置位于数轴上表示1的点,现对A点做如下移动:第1次向左移动3个单位长度至B点,第2次从B点向右移动6个单位长度至C点,第3次从C点向左移动9个单位长度至D点,第4次从D点向右移动12个单位长度至E点,…,依此类推.这样第_____次移动到的点到原点的距离为2018.

分析:本题考查了数轴,以及用正负数可以表示具有相反意义的量,还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),考查了一列数的规律探究.对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键.

根据数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),分别求出点所对应的数,进而求出点到原点的距离;然后对奇数项、偶数项分别探究,找出其中的规律(相邻两数都相差3),写出表达式就可解决问题.

【解答】:第1次点A向左移动3个单位长度至点B,则B表示的数,1﹣3=﹣2;

第2次从点B向右移动6个单位长度至点C,则C表示的数为﹣2+6=4;

第3次从点C向左移动9个单位长度至点D,则D表示的数为4﹣9=﹣5;

第4次从点D向右移动12个单位长度至点E,则点E表示的数为﹣5+12=7;

第5次从点E向左移动15个单位长度至点F,则F表示的数为7﹣15=﹣8;

…;

由以上数据可知,当移动次数为奇数时,点在数轴上所表示的数满足:﹣1/2(3n+1),

当移动次数为偶数时,点在数轴上所表示的数满足:1/2(3n+2),

当移动次数为奇数时,﹣1/2(3n+1)=﹣2018,n=1345,

当移动次数为偶数时,1/2(3n+2)=2018,n=4034/3(不合题意).

故答案为:1345.

感悟:数轴上一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a-b;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。运用这一特征探究变化规律时,要注意在循环往返运动过程中的方向变化。

类型2 数轴上距离问题

招数:用分类及数形结合思想

例2.(2017秋黄埔区期末)已知M、N在数轴上,M对应的数是﹣3,点N在M的右边,且距M点4个单位长度,点P、Q是数轴上两个动点;

(1)直接写出点N所对应的数;

(2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时,点P所对应的数是多少?

(3)如果P、Q分别从点M、N出发,均沿数轴向左运动,点P每秒走2个单位长度,先出发5秒钟,点Q每秒走3个单位长度,当P、Q两点相距2个单位长度时,点P、Q对应的数各是多少?

【分析】本题考查了两点间的距离和数轴.解题时,需要采用“分类讨论”的数学思想.

(1)根据两点间的距离公式即可求解;

(2)分两种情况:①点P在点M的左边;②点P在点N的右边;进行讨论即可求解;

(3)分两种情况:①点P在点Q的左边;②点P在点Q的右边;进行讨论即可求解.

【解答】(1)﹣3+4=1.

故点N所对应的数是1;

(2)(5﹣4)÷2=0.5,

①﹣3﹣0.5=﹣3.5,

②1+0.5=1.5.

故点P所对应的数是﹣3.5或1.5.

(3)①(4+2×5﹣2)÷(3﹣2)

=12÷1

=12(秒),

点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2=﹣37,点Q对应的数是﹣37+2=﹣35;

②(4+2×5+2)÷(3﹣2)

=16÷1

=16(秒);

点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2=﹣45,点Q对应的数是﹣45﹣2=﹣47.

类型3 数轴上行程问题

招数:方程及分类思想

例3.(2017秋越城区期末)如图1,有A、B两动点在线段MN上各自做不间断往返匀速运动(即只要动点与线段MN的某一端点重合则立即转身以同样的速度向MN的另一端点运动,与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变),已知A的速度为3米/秒,B的速度为2米/秒

(1)已知MN=100米,若B先从点M出发,当MB=5米时A从点M出发,A出发后经过_______秒与B第一次重合;

(2)已知MN=100米,若A、B同时从点M出发,经过_______秒A与B第一次重合;

(3)如图2,若A、B同时从点M出发,A与B第一次重合于点E,第二次重合于点F,且EF=20米,设MN=s米,列方程求s.

【分析】考查了一元一次方程的应用和数轴,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.

(1)可设A出发后经过x秒与B第一次重合,根据等量关系:路程差=速度差×时间,列出方程求解即可;

(2)可设经过y秒A与B第一次重合,根据等量关系:路程和=速度和×时间,列出方程求解即可;

(3)由于若A、B同时从点M出发,A与B第一次重合共走了2个MN,第二次重合共走了4个MN,可得ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN,MF=2MN﹣2/(3+2)×4MN=2/5MN,根据EF=20米,列出方程求解即可.

【解答】(1)设A出发后经过x秒与B第一次重合,依题意有

(3﹣2)x=5,解得x=5.

答:A出发后经过5秒与B第一次重合;

(2)设经过y秒A与B第一次重合,依题意有

(3+2)x=100×2,

解得x=40.

答:,经过40秒A与B第一次重合;

(3)由于若A、B同时从点M出发,A与B第一次重合共走了2个MN,第二次重合共走了4个MN,可得ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN,MF=2MN﹣2/(3+2)×4MN=2/5MN,

依题意有:4/5s﹣2/5 s=20,

解得s=50.

答:s=50米.

笔者用这道题作为七级上期中考的复习题,特别是第(3)小题,学生要么晕乎乎不会做,要么就是用小学的竞赛的算术法.用小学的竞赛的算术法很多学生都无法理解,但是用“字母来表示动点的问题”来解决,这道题就显得“ So easy”了.

类型4 数轴上新定义问题

招数:转化,方程及分类思想

例4.(2017秋句容市期中)【阅读理解】

点A、B、C为数轴上三点,如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍,那么我们就称点C是{ A,B }的奇点.

例如,如图1,点A表示的数为﹣3,点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3,到点B的距离是1,那么点C是{ A,B }的奇点;又如,表示﹣2的点D到点A的距离是1,到点B的距离是3,那么点D就不是{A,B }的奇点,但点D是{B,A}的奇点.

【知识运用】

如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣3,点N所表示的数为5.

(1)数______所表示的点是{ M,N}的奇点;数_______所表示的点是{N,M}的奇点;

(2)如图3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣50,点B所表示的数为30.现有一动点P从点B出发向左运动,到达点A停止.P点运动到数轴上的什么位置时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点?

【分析】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题,认真理解新定义:奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍,列式可得结果.

(1)根据定义发现:奇点表示的数到{ M,N}中,前面的点M是到后面的数N的距离的3倍,从而得出结论;根据定义发现:奇点表示的数到{N,M}中,前面的点N是到后面的数M的距离的3倍,从而得出结论;

(2)点A到点B的距离为6,由奇点的定义可知:分两种情况列式:①PB=3PA;②PA=3PB;可以得出结论.

【解答】(1)5﹣(﹣3)=8,

8÷(3+1)=2,

5﹣2=3;

﹣3+2=﹣1.

故数3所表示的点是{ M,N}的奇点;数﹣1所表示的点是{N,M}的奇点;

(2)30﹣(﹣50)=80,80÷(3+1)=20,

30﹣20=10,﹣50+20=﹣30.

故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点.

故答案为:3;﹣1.

最后总结几句:

第一步,用字母表示动点在数轴上所表示的数;

第二步,根据题目的需要写出有关该字母的代数式;

第三步,根据题目的意思列出方程,并解方程.

数学学习的精髓就是把“复杂问题”简单化,在解决动点问题时,首先遇到的第一个困难就是分析不出动点的运动过程,空间想象力和逻辑分析能力都显得不够,而在解题时,尤其是在考试过程中遇到动点问题,我的建议是多动手,多画几个运动过程中的图形,对于多个不同的运动时刻,按次序画出多个图形进行比较,往往可以看出动点的运动趋势和图形的整体变化过程,从而把握运动的全过程,为分类讨论和计算做好准备。比如我们可以画出特殊时间节点时刻的图形,通过观察比较寻找运动规律,而对动点运动时的一些特殊位置,比如两点重合,或者某一点到达一个特殊位置等,更需要画出图形,这些特殊位置往往是进行分类讨论的关键点。通过画图把握了运动的全过程,然后就可以根据不同情况进行分类讨论,寻找等量关系列方程计算。这一步骤的关键是用代数式表示图形中的各量,主要是图中的各条线段长,最后寻找各线段之间的等量关系,列出方程求解。

版权声明:七年级数学难点|破解数轴上的动点问题的绝招由中学数学精准辅导提供,版权归原作者所有。

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